[1]（美）乔治·伽莫夫著.从一到无穷大[M].文化发展出版社.2019.

第一部分 数字游戏

第1章 大数字

根据我们的无穷数比较法则，我们必须承认所有偶数的数量与所有数字的数量是相等的。当然，这听起来有些荒谬，因为偶数只是所有数字的一部分，但是，别忘了我们这里所处理的是无穷数，所以必须对遇到的不同的特性有所准备。

线段上的点与所有的整数之间是无法建立一一对应关系的，这也表明“代表一条线上所有点的无穷数要大于，或者说强于代表所有整数或分数数量的无穷数”。

根据我们的“无穷数算数”法则，我们很容易证明任何长度的线都是一样的。事实上，“无论一条线长1英寸、1英尺还是1英里，上面的点的数量都是一样的”。……代表这两条线段上的点的无穷数是相等的。

线段上的每一个点都在平面上有一个对应点，平面上的每一个点也都在线段上有一个对应点，一个多余的点也没有。根据康托尔准则，代表一个平面上所有点数的无穷数与代表一条线上所有点数的无穷数是相等的。

虽然几何点的数量比所有整数或分数的数量大，但它还不是数学家们所了解的最大数字。事实上，人们已经发现，所有的曲线的样式总数比所有几何点的数量还要多，因此被描述为第三级无穷序列。

第2章 自然数和人工数

正如数论中的很多其他理论一样，上述质数理论最开始是从经验主义的角度提出的，在其后很长一段时间里都无法用严格的数学方法加以证实。

可以说，虚数是普通数或实数的虚构镜像，而且，就像我们可以由基数1得到所有的实数一样，我们也可以由基本虚数单位$\sqrt{- 1}$得出所有的虚数，$\sqrt{- 1}$通常用符号$i$来表示。

将一个实数乘以$i$，在几何学上相当于将其对应点逆时针旋转90度。

使用-1的虚构平方根，人们还发现了另外一个隐藏的宝藏，一个不可思议的发现：我们的普通三位空间可以与时间合二为一形成一个符合四维几何规律的四维图像。

第二部分 空间、时间与爱因斯坦

第3章 空间的独特性

$V（顶点数） + F（面数） = E（棱数） + 2$ 就是一个拓扑性质的一般性数学原理，原因是其关系的表达不依赖于其棱边长度或是各个面面积的测量，而只需考虑到其中不同的几何单元（点、棱、面）的数目即可。这样的关系只存在于一个多面体的顶点数、棱数以及面数之间。

而对于甜甜圈状的，抑或更科学严谨一点说，对于环形曲面状的多面体而言，计算公式$V + F = E$派得上用场。而对于椒盐卷饼状的多面体，我们又需要$V + F = E - 2$这样的公式。一般而言，在$V + F = E + 2 - 2N$中，$N$表示的是透洞的数量。

但具讽刺意味的是，愈加复杂的表面，例如，甜甜圈或是椒盐卷饼的表面，都能被相对轻松地证明出来，而对于常规的球体或是平面，数学家却只能望洋兴叹、绕道而行，从未成功证明出来过。

事实上，在过去穷极望远镜观测能力的情况下所观测到的景象似乎表明了，这些跨距甚巨的空间开始弯曲，显示出了很明显的自我折返、自我闭合的趋势，就像我们所举例子中的虫子蚕食苹果而出现交错通道一样。

如果一个物件没有对称的平面，也就是我们所说的，不对称，那么它就会被归类到两个迥异的模型中——一个属于左边，一个属于右边。

即使是我们所说的分子，也就是那些组成所有物质的微粒，也常跟左、右手手套，或是顺、逆时针结构蜗牛壳一样，具有明显的左右手结构。

在一个被扭曲的平面上，只要通过扭曲处，一个右手物件就可被翻转变换为一个左手物件，反之亦然。

第4章 四维的世界

必须谨记于心的是，四维超形体在我们这个普通三维空间中的投影会是立体的空间形状，这跟三维物体在二维平面上的投影为二维或平面形状是一样的道理。

只要我们能在某种标准速度的选择上达成一致，就能够用单位长度来表示时间间隔，反之亦然。当然，所选择的标准速度显然要作为空间和时间之间的基本“翻译”因子而存在，故而不论人类的主动性或其周围的物理环境如何，它们二者具有的基本性质和一般属性都必须是相同的。光在空间中的传播速度是物理学上已知的唯一具有人类所想要的一般属性的速度，虽然通常称为“光速”，但其实还有更好的表述，即“物理相互作用的传播速度”。因为任何作用在物体之间的力，不论是电吸引力还是重力，都以相同的速度在空气中进行传播的。此外，正如我们稍后会看到的，光速代表了任何可能（存在）的物质的速度的上限，而且没有任何物体能够以超过光的速度穿越空间。

第5章 时空的相对性

在一个观察者看来发生于同一时刻、不同地点的两个事件在处于不同运动状态的另一个观察者眼中却是发生在不同时刻的两个事件。

这些都是四维几何必然会出现的结果：空间和时间只是恒定不变的四维距离在其对应轴上的投影。

19世纪物理学犯的最大一个错误就是：假设这个光以太所具有的性质与我们熟知的普通物理实体之性质十分相似。

事实上，我们所知道所有的一般性物质，其力学属性都可追溯到构成物质的原子之间的相互作用上。

从四维几何学的角度来看，可被观察到的所有运动物体的普遍性缩短，可简单地解释为其恒定不变的思维长度在空间中的投影，而这个四维长度却又是由时空坐标旋转变化而成的。

此外，四维推理还让我们明白了为什么运动物体的相对收缩只有在其速度接近光速时才会变得明显。事实上，决定时空坐标旋转角度的是移动系统所覆盖的距离和覆盖该距离所需的时间的比率。

这种在运动系统中时间变慢的情况，在星际旅行中成了一个有趣的现象。假设你决定去参观天狼星的一颗卫星，而它距离太阳系9光年，你搭乘上一艘以光速行驶的飞船。这时候，你会很自然地认为从天王星到回天狼星的往返一程至少要18年，因此你一定会筹划着携带上大量的食物以做供应。但如果你乘坐的飞船运行速度接近光速，那么你所有的担心都是没有必要的，而所有的防患措施也完全是多余的。事实上，如果你的速度能达到光速的99.99999999%，那么，你的手表、你的心脏、你的肺、你的消化和思考过程都将会减慢70000倍。如此一来，地球到天狼星往返一趟所需的18年（这是从地球人的角度看到的时间）对你而言，不过是区区几个小时而已。而事实上，若是你一吃完早饭就从地球出发，那么，当你的飞船降落到天狼星的一个行星上时，正好是你想吃午饭的时间。或者，如果你行程匆忙，吃完午饭后马上就得回家，你也很可能会赶到晚饭时回到家。但在这里，如果你忘了相对论定律，那么，当你回到家时你一定会大吃一惊，因为你会发现自己的朋友和亲戚已经“弃”了你，认为你已经迷失在星际之中，而自己走了之后，他们一共享用了6570顿晚餐了！且因为你是以接近光速的速度在运动，故而地球上的18年对你来说，也不过才一天的光阴而已。

如此一来，重力作为一种独立力的概念就从我们的原有推理中完全消失了，取而代之的是纯几何空间的概念：所有的物质都在其他巨大质量造成的弯曲空间中，沿着“最直的线路”或称测地线运动。

第三部分 微观世界

第6章 下降的阶梯

根据阿贝的原理，显微镜的功能在于：①将原始图像分成大量单独的带状图案；②将每个图案放大;③把放大后的图案重叠，从而获得放大的图像。

最重要的相似之处还在于原子核与电子之间的电吸引力与太阳和行星之间的重力作用都遵循同样的数学上的反向平方定律。

为什么过去众所周知的力学定律应用到电子身上得出的结论与观察到的事实如此矛盾呢？要回答这个问题，我们必须转向最根本的科学问题：科学本身的本质问题。什么是“科学”？什么叫作对自然事实的“科学解释”？

对原子系统的力学行为的研究，以及所谓的量子力学的创立，给物质科学带来了重要的新元素。量子力学发现，“两个不同的物体之间的任何可能的相互作用都有一定的下限”，这一发现对运动物体轨迹的经典定义造成了极大的破坏。

第7章 现代炼金术

据我们所知，在太阳系之外，可能存在由这样的反向物质构成的行星系统，在这种情况下，从太阳系向该星系扔出的一块普通石头，一旦着陆后就会立刻变成原子弹，反之亦然。

表面张力使任何液滴在不受任何外力作用下都有呈球形的倾向，因为在体积一定时，球体是表面积最小的几何体。

事实上，在我们生活的世界中，除了银币之外（银原子核既不会聚变，也不会裂变），几乎所有物体都是潜在的核爆炸物，但我们之所以不会被炸成碎片，是因为要引发核反应极其困难，或者更科学地说，是因为核嬗变需要极高的活化能。

就像湿木材中的水阻碍木材燃烧一样，铀238也阻碍了天然铀的渐进式支链反应。事实上，正是由于非活性同位素的这种稀释作用，具有高度分裂性的铀235才能存在于自然界中，否则它们早就由于自身的快速链式反应而灭绝。

第8章 无序定律

如果我们将液体加热，悬浮在液体中的微小颗粒舞蹈得会更加猛烈。随着冷却，其强度会明显减弱。毫无疑问，我们在这里观察的正是物质内部热运动的效应，我们通常所说的温度，只不过是对分子动荡程度的衡量而已。

事实上，根据热运动的基本规律，在给定温度下，无论是固态、液态还是气态，所有物质中的分子所含的能量是相同的。区别只在于在某些物质下，这种能量足以将分子从其固定的位置上扯下来，让它们四处运动，而在另外一些物质中，分子只能在其固定位置颤动，就像被拴住的愤怒的狗一样。

如果有人认为由于热运动的不规则性，所以无法对其进行物理描述，那可就大错特错了。事实上，正是因为热运动是“完全不规则”的，所以其遵循一种新的定律，即“无序定律”，也更多地被称为“统计规律”。

光从太阳中心到达表面需要50个世纪，而在进入到真空的行星际空间并沿着一条直线前行之后，它只需要8分钟就能完成从太阳到地球的整个距离！

熵定律决定着每一个物体的热行为，无论是一些液体的微小液滴，还是群星遍布的浩瀚宇宙。

生日巧合的问题很好地说明了对复杂事件概率的常识判断可能是完全错误的。

如果你计算任何英文文本中不同字母的数量，无论是莎士比亚的十四行诗，还是埃德加·华莱士（Edgar Wallace）的悬疑小说，你都会发现字母“e”出现得最频繁。在“e”之后字母出现的频繁度从高到低如下排序：a，o，i，d，h，n，r，s，t，u，y，c，f，g，l，m，w，b，k，p，q，x，z。

“所有依赖于分子不规则运动的物理过程都是朝着概率递增的方向发展的，当不受外界力量干扰时，其平衡状态就是概率最大的那种可能性”。正如我们从室内空气的例子中所看到的那样，由于所有分子分布的概率结果通常是麻烦的小数字，因此人们习惯上使用它们的对数来代替。这个量被称为“熵”，其在所有与物质的不规则热运动有关的问题中起着突出的作用。上述关于物理过程中的概率变化规律现在可以改写为：“物理系统中的任何自发变化都是朝着增加熵的方向发生的，而最终的平衡状态对应于熵的最大可能值”。

虽然机械运动的能量可以完全转化为热量（例如，通过摩擦），但热能永远不能完全转化为机械运动，这就排除了所谓的“第二类永动机”的可能性。

第9章 生命之谜

虽然可以肯定，基因承载着有生命物质区别于无生命物质的所有特征，但从另一方面来讲，它们无疑也与一些复杂的分子（如蛋白质的分子）关系匪浅，而这些复杂分子则遵循所有我们熟知的普通化学规律。

换句话说，似乎“有机物和无机物之前缺失的联系就在于基因，也就是本章开头所提到的‘活分子’”。

第四部分 宏观世界

第10章 拓宽视野

只用一只眼睛来穿针，你无法判断针到线之间的距离。但睁大双眼时，穿针引线就很容易做到或者至少很容易学会怎么做了。那是因为用两只眼睛看物体时，你会自动将双眼聚焦在物体上。所以物体离你越近，你的两个眼球就会转动到更为靠近的位置，而这种调整所产生的肌肉感觉让你对距离有了很好的了解，会让你对距离有一个很好的概念。

在科学中，每当我们遇到无法克服的困难时，延误往往只是一时的；因为每时每刻都有事情在发生，而正是这些事允许我们走得更远。

第11章 初创之日

地表下的温度变化规律是：每深入1千米，温度就上升30摄氏度。

事实上，只要岩石处于熔融状态，那么，放射性衰变的产物就能经由扩散和对流不断流走。不过，一旦材料凝固成一块岩石，那么由放射性元素转变而成的铅就会开始积累，由它积累的量，我们就能准确地了解到这个积累过程到底持续了多久。这与散落在太平洋岛屿上椰子林中的空啤酒罐一样，敌军间谍只要数一数这些空罐子，就能判断出敌方战队在岛上驻守了多久。

太阳能量释放的过程主要是由一系列的热核转变共同构成的，而并非其中哪一个反应链的功劳。这一系列反应链中最有趣的地方就是，这是一个封闭的循环链，即在反应进行了6步之后，又会回到起点处。

星系普遍均匀遍布的宇宙空间也正经历着普遍的均匀膨胀。